算数のお話 3の3乗(27)・4乗(81)のちょっとした法則

数学

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はじめに:3の倍数・9の倍数に関する法則

こんにちは。
突然ですが今日は、ちょっとした算数の話を書いてみたいと思います。

算数で、3の倍数・9の倍数に関して、次のような法則があるのはご存知でしょうか。

3の倍数・9の倍数に関する常識
あらゆる正の整数Xについて、次のことが言える。

  • Xの、全ての桁の数字を足して3の倍数になるなら、Xは3の倍数である。
  • Xの、全ての桁の数字を足して9の倍数になるなら、Xは9の倍数である。

つまり、

具体例
  1. 567891
    →全ての桁の数字を足すと18(=9×2)になるので、9の倍数である。
  2. 567894
    →全ての桁の数字を足すと21(=3×19=9×2+3)になるので、3の倍数である。が、9の倍数ではない。

これらは、各桁の数値をどのように並べ替えても結果は変わらない。

といった感じです。
しかしこれらについては、この記事では単なる前提・常識として扱います(笑)。

今回の題材

では今回扱うのは何かというと、9の倍数より更に上の、3のべき乗についてです。

3のべき乗、つまり

3×3=9
3×3×3=27
3×3×3×3=81
とかがありますが、実は私は、数字を見て3のべき乗を見分けるのが得意なのです(笑)。

例にあげた567891という数字なんかも、81の倍数だということが一瞬で分かります(もう少し言うと、3の6乗=729の倍数です)。

  • 756は27の倍数だが81の倍数ではないな。
  • 6561は、3の8乗(=81×81)じゃないか。凄い。
  • 252は、3の5乗=243に9を加えた数字だな。惜しい。
  • 1234は3の倍数ですらない。論外。

といったことを、私は色々な数字を見ては日常的に妄想しています。

で、どうして見分けるのが得意かって、円周率みたいに単に丸暗記したとかではありません。

3の倍数・9の倍数ほど普遍的なものではありませんが、27の倍数や81の倍数についても、ちょっとした法則があります。

今回私が扱いたいのは、そういった法則の一部です。

この法則は、確か私が中学1年生のとき、妄想の中で一人で気付いたものなのですが、これについて明記している書籍とかあるのかな?
あったら教えてほしいものです。

まあ、数学的な証明をしろと言われたら、知識のある人ならできるものではあるんですが、公式みたいに体に染み付いてる人って多いのかなと思ったわけで。

書き方のお断り事項

さて、数学に厳しい人達のツッコミを回避する目的も兼ね、以降の書き方についてある程度、断りを入れておこうと思います。

といってもそんなのイチイチ読みたくない人が大半だと思うので、折りたたんでおきます。

書き方のお断り事項
書き方のお断り事項
  • 今回の記事では、数学の記号としてA,B,C,D,Eまで使うが、これらは0以上9以下の整数とする。
  • 百の位がA、十の位がB、一の位がCとなる自然数については、正しくは100A+10B+Cと書くところだが、簡略化のためABCと記述する。
  • 同様に、百の位がA+1、十の位がB、一の位がCとなる自然数については(A+1)BCと記述する。
  • ABCを(A+1)B(C-1)などと変化させる例を扱うときは、変化後の数値は変化前と桁数が変化しない(そういう範囲でしか変化を加えない)ものとする。
  • m,nは任意の自然数とする。たとえば「27の倍数」というのは27nと省略して書く。
  • 「81nでなおかつ27nである」という書き方の場合、「81×3かつ27×3である」という意味でなく、それぞれのnは別個の自然数を示す。

27の倍数、81の倍数に関する法則

それでは、27の倍数や81の倍数に関する、ちょっとした法則を書いていきます。
といっても、3桁~4桁の数字に関するものだけで、日常生活でも学問でも、役立てられる場面などそうはないと思いますが。

私としては経理業務において、「元の数が27の倍数だったのに、それを3倍して81の倍数にならないのはおかしい」といった、ちょっとした検算に使えてたりもするんですがね。

ABCが27nであるならば、BCA、CABも27nである

例)135は27nだが、数字を順序よく並べ替えた351と513も27nである。

ABCが27nなら、(A+1)B(C-1)は27m-9、(A+2)B(C-2)nは27m+9、(A+3)B(C-3)は27mである。

例)135=27×5だが、

  • 234=27×9-9
  • 333=27×12+9
  • 432=27×16

ABCが81nでA+B=3mなら、CABも81nである。
同様にABC=81n+9なら、CABも81n+9
ABC=81n-9なら、CABも81n-9である。

例)

  • 243=81×4だが、324=81×4
  • 819=81×10+9だが、981=81×12+9
  • 153=81×2-9だが、315=81×4-9

ABCD=27nなら、(E+F)=(A+D)のままであれば、EBCFも27nである。

例)1323=27×49だが、2322、3321、4320までは27nであり、A+D=4。
しかし5328になると5+8=13になってしまい、5328=27n-9になってしまう。

ABCD=81nなら、(A+3)BC(D-3)も81nである。

例)1863=81×23だが、4860=81×60

ざっとこんなところです。
なんか前置きの方が長くなって本編はあっさりですが、私が強く意識してないだけで他にも見付けてる法則はあったかと思います。

こんなの日常的に意識して生きてる人間って私以外にはそう多くはないだろうな。

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福岡市博多区の会社で経理の仕事をやっています。Excelが好きでVBAとかまで大体の機能は使えて、それで業務効率化に努めています。 株式投資など、お金の運用について、遅ればせながら35歳半ばからハマっています。